4.5 function composition and inverse function

Terminologies

bijective function: 수학에서, one-to-one 대응상태 혹은 반전 가능한 bijection function으로 알려진 개념으로,

두 개의 set에서 각 요소가 다른 set의 한 요소에 대해 짝이 되는 함수를 의미한다.

X, Y가 서로 하나의 요소에 각각 대응하면 bijective
injective function (one-to-one): injective function은 고유한 요소인 자신의 domain들을 distinct elements로 연결하는 함수를 의미한다.

다르게 말하면 함수의 모든 codomain은 domain의 최대(at most) 하나에 대한 출력이다.

one-to-one function과 bijection function을 의미하는 one-to-one correspondence와 헷깔리지 말아야하는 요소인데,

이것은 정확히 하나의 출력은 하나의 입력에 대해 대응되는 것을 의미한다.

X가 하나의 Y요소에 대응하면 injective
surjective function (onto): y의 모든 요소는 x에서부터 나올 수 있음을 얘기한다.

다르게 말하면, 함수의 모든 codomain은 domain의 요소 중 최소(at least) 하나에 대한 출력이다.

function composition?

function composition on wiki: '∘' 연산자로 표현되며, 이 연산자는 다수의 함수 f, g를 피연산자로 한다.

이는 h = g ∘ f || h = g(f(x))의 표현을 가진다.

여기서 g의 입력은 f의 x에 대한 출력에 적용된다.

직관적으로, 함수를 조합하는 것은 f의 출력을 g함수에 입력하는, 과정을 연결하는 것이다.

Note

함수의 합성은 함수의 곱과는 차이가 있는데, 대표적으로 함수의 합성은 commutative(대화적인, 교환 법칙, f ∘ g != g ∘ f)하지 않다.

이제까지 살펴본 polynomial function, linear function, rational irrational function 등은 단순히 하나의 식으로 표현되는 하나의 속성이다.
현실의 문제들은 단순히 하나의 함수(두 수의 대응관계)만으로 표현하기에는 어려울 것이다.
때로는 함수 여럿을 한데 묶어서 조합하여 나타낼 수 있는 복잡한 과정을 가지는 대응 관계도 존재한다. 이것을 다수의 함수의 조합으로 풀어낼 수 있는데,
이 함수의 조합 자체를 function composition(합성함수)라 부르고, 함수를 연결해 합성함수를 만들거나, 합성함수를 일반함수로 분해하는 과정을 포함한다.

inverse function?

함수는 방향이 있는 대응관계이고, associative(수의 관계)라는 속성이 가장 중심이 된다.
함수가 되는 조건으로는 단순히 입력값이 하나의 출력값으로 관계를 가지면 되는 것이지만,
one to one의 관계를 만족하는 함수의 경우 반대의 관계로 표현하여도 함수의 조건을 만족한다.
이를 inverse function(역함수)라고 한다.
역함수를 만드는 방법은 두 변수의 위치를 바꾸고 commutative property를 사용하여 y = x의 식으로 변환하는 것이다.

4.4 rational and irrational functions

유리함수와 무리함수

4.3 quadratic function

이차함수와 그래프

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